Happy Moji Bee — Math Explanation (EN/FR)

AbstractRésumé

This note rigorously summarizes the mathematics behind the Happy Moji Bee demo. We use a Negative Binomial (NB) model—in its Gamma–Poisson mixture form—to generate the number of combining marks per character. A linear drift of the mean across index produces the “crescendo” effect, while the use of Unicode combining marks creates a visual texture without adding horizontal advance. We provide formulas, generation steps, diagnostics, and realistic current applications.

Cette note résume rigoureusement les mathématiques derrière la démo Happy Moji Bee. Nous utilisons un modèle binomial négatif (NB)—sous forme de mélange Gamma–Poisson—pour générer le nombre de marques combinantes par caractère. Une dérive linéaire de la moyenne selon l’index produit l’effet de « crescendo », tandis que les marques combinantes Unicode créent une texture visuelle sans largeur supplémentaire. Nous fournissons formules, étapes de génération, diagnostics et applications actuelles réalistes.

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Negative Binomial DistributionDistribution binomiale négative

ParameterizationsParamétrisations

We use the mean–shape parameterization NB(r, m) with mean E[K]=m and variance Var[K]=m + m² / r (overdispersion vs. Poisson). This is equivalent to NB(r, p) with p = r/(r+m), so that P(K=k) = C(k+r-1,k) · p^r · (1-p)^k for k=0,1,2,….

Nous utilisons la paramétrisation moyenne‑forme NB(r, m) avec E[K]=m et Var[K]=m + m² / r (sur‑dispersion par rapport à Poisson). Elle est équivalente à NB(r, p) avec p = r/(r+m), d’où P(K=k) = C(k+r-1,k) · p^r · (1-p)^k pour k=0,1,2,….

Gamma–Poisson mixtureMélange Gamma–Poisson

If λ ~ Gamma(shape=r, scale=m/r) and K | λ ~ Poisson(λ), then the marginal distribution of K is NB(r, m). This constructive view yields an efficient generator: sample a Gamma, then a Poisson.

Si λ ~ Gamma(shape=r, scale=m/r) et K | λ ~ Poisson(λ), alors la loi marginale de K est NB(r, m). Cette vue constructive donne un générateur efficace : échantillonner une Gamma puis une Poisson.

Overdispersion & diagnosticsSur‑dispersion & diagnostics

Var[K] > E[K] when r < ∞; Poisson is the limit as r→∞.
Var[K] > E[K] si r est fini ; Poisson est la limite quand r→∞.
Log‑likelihood comparison NB vs Poisson is a practical check for overdispersion.
La comparaison de log‑vraisemblance NB vs Poisson sert de test pratique de sur‑dispersion.

Implementation in the Bee‑ChainImplémentation dans la Bee‑Chain

Mean drift (“crescendo”)Dérive de la moyenne (« crescendo »)

For index i=0,1,…,n-1, we set a target mean mᵢ = max(0, m₀ + β·i). Given shape r, we draw Kᵢ ~ NB(r, mᵢ) via the Gamma–Poisson mixture.

Pour l’index i=0,1,…,n-1, on fixe une moyenne cible mᵢ = max(0, m₀ + β·i). Avec la forme r, on tire Kᵢ ~ NB(r, mᵢ) via le mélange Gamma–Poisson.

Generation stepsÉtapes de génération

for i in 0..n-1:
  m_i = max(0, m0 + β*i)
  λ   ~ Gamma(shape=r, scale=m_i/r)
  K_i ~ Poisson(λ)        # combining marks
  glyph_i = base[i mod |base|] + K_i combining marks

pour i = 0..n-1 :
  m_i = max(0, m0 + β*i)
  λ   ~ Gamma(shape=r, scale=m_i/r)
  K_i ~ Poisson(λ)        # marques combinantes
  glyph_i = base[i mod |base|] + K_i marques

What is (not) compressedCe qui (n’)est (pas) compressé

No information compression: combining marks are zero‑width glyphs; they change appearance, not the entropy of the seed.
Pas de compression d’information : les marques combinantes ont une largeur nulle ; elles changent l’apparence, pas l’entropie de la graine.
Visual “compression” varies by font metrics; a fixed‑advance rendering removes this bias.
La « compression » visuelle dépend des métriques de fonte ; un espacement constant élimine ce biais.

Scientific Applications (now)Applications scientifiques (actuelles)

RNA‑seq: model overdispersed read counts; widely used in tools like DESeq2 and edgeR. RNA‑seq : modélisation de comptes sur‑dispersés ; largement utilisé (DESeq2, edgeR).
Epidemiology: offspring distribution of cases and superspreading (NB with small r). Épidémiologie : distribution de descendance de cas et “superspreading” (NB avec r petit).
Ecology: clumped counts (e.g., insects per trap, seeds per plot). Écologie : dénombrements agrégés (ex. insectes par piège, graines par parcelle).
Astrophysics / particle physics: counts in cells (galaxies per cell, hit counts) with extra‑Poisson variance. Astrophysique / physique des particules : comptes par cellule (galaxies, hits) avec variance extra‑Poisson.

These uses are established and stable; the NB’s extra parameter r controls overdispersion. Ces usages sont établis ; le paramètre r contrôle la sur‑dispersion.

Limits & PitfallsLimites & écueils

Drift must keep mᵢ ≥ 0; clip at zero if needed.
La dérive doit garder mᵢ ≥ 0 ; borner à zéro si nécessaire.
Do not interpret visual compactness as data compression.
Ne pas confondre compacité visuelle et compression d’information.
Fonts and renderers differ in combining mark placement; prefer fixed‑advance when comparing.
Les fontes/rendus diffèrent pour l’ancrage des marques ; préférer l’espacement constant pour comparer.

ReferencesRéférences

Variance of NB in mean–shape form: Var[K]=m + m²/r; NB as a Gamma–Poisson mixture. Standard results in probability texts. Variance de la NB (forme moyenne‑forme) : Var[K]=m + m²/r ; NB comme mélange Gamma–Poisson. Résultats standards.
RNA‑seq pipelines (e.g., DESeq2, edgeR) use NB to model overdispersed counts. Les chaînes RNA‑seq (DESeq2, edgeR) utilisent la NB pour modéliser la sur‑dispersion.
Superspreading modeled by NB offspring distributions (small r ⇒ heavy tail). Superspreading modélisé par une NB sur la descendance (petit r ⇒ queue lourde).

Formulas here match the implementation used in the demo (Gamma sampling → Poisson sampling) and the canonical NB identities. Les formules correspondent à l’implémentation de la démo (échantillon Gamma → Poisson) et aux identités canoniques de la NB.